【導(dǎo)讀】本文討論了 Sallen-Key 低通濾波器的設(shè)計(jì)。為了便于具體電路參數(shù)選擇，采用了比率 設(shè)計(jì)方案進(jìn)行討論，大大提高了電路參數(shù)的實(shí)現(xiàn)可能性。
01 Sallen-Key濾波器
一、背景介紹
近期由于需要測(cè)試所搭建的高阻抗信號(hào)源放大電路，其中包括有低通濾波器，所以研究了 Sallen-Key topology[1] 相關(guān)濾波電路電路。如下是 Kennth A. Kuhn 在 2016 給出的 Sallen-Key Low-Pass Filter[2] 設(shè)想步驟；2002年 TI 給出的 Analysis of the Sallen-Key Architecture[3] 應(yīng)用報(bào)告，給出了不同 Kallen-Key 電路理論分析。
Sallen-Key 電子濾波器拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，由于其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，被用于二階有源濾波器電路設(shè)計(jì)，它是 VCVS（電壓控制-電壓輸出）濾波器簡(jiǎn)化版本。VCVS 濾波器使用輸入阻抗高、輸出阻抗低的電壓放大器來(lái)實(shí)現(xiàn) 2 個(gè)極點(diǎn)的低通、高通、帶通濾波器。在不使用電感的情況下，可以獲得高 Q 值，通帶增益可調(diào)。多個(gè) VCVS 濾波器可以直接級(jí)聯(lián)形成高階濾波器。Sallen-Key 濾波器則使用單位電壓增益的放大器（俗稱(chēng)電壓跟隨器）設(shè)計(jì)的有源濾波器電路。
在1955年 R.P.Sallen，與 E.L.Key 利用了真空電子管陰極跟隨放大器-具有近似單位電壓增益電路設(shè)計(jì)濾波器?，F(xiàn)代電子線路中則是普通的運(yùn)算放大器進(jìn)行設(shè)計(jì)，簡(jiǎn)單情況下，使用晶體管發(fā)射極跟隨或者源極跟隨器進(jìn)行設(shè)計(jì)。
二、電路分析
雖然 Sallen-Key 電路結(jié)構(gòu)可以形成不同特性的濾波器，由于后面實(shí)驗(yàn)需要，后面僅僅對(duì)低通濾波器設(shè)計(jì)進(jìn)行討論。下圖是單位增益低通濾波器，可以實(shí)現(xiàn) s 平面上任意極點(diǎn)（實(shí)數(shù)，或者復(fù)數(shù)）位置配置。通常情況下，四個(gè)器件（R1，R2，C1，C2）取值各不相同。
圖1.2.1 Sallen-Key 單位增益低通濾波器電路
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為了簡(jiǎn)化分析，考慮在 s 域分析上述電路。利用 Kirchoff 節(jié)點(diǎn)電流定理，流過(guò) R1 的電流等于流過(guò) R2，C1的電流之和。方便起見(jiàn)，將 R1，R2，C1 連接節(jié)點(diǎn)電壓臨時(shí)設(shè)為 Vx。利用工作在放大區(qū)域的運(yùn)放“虛短”特性，可以知道運(yùn)放兩個(gè)輸入端的電壓都都與 Vo。于是有如下方程：
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兩邊乘以 R1,R2消除分母，可得：
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在根據(jù) Vx，Vo之間的關(guān)系是 R2，C2 的分壓關(guān)系，可以知道：
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這樣可以得到：
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將 （4）代入（1）經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)可以得到濾波器輸入輸出之間的傳遞函數(shù)
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根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)的二階系統(tǒng)的形式：
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可以得到系統(tǒng)的自然諧振頻率
和阻尼系數(shù)
：
三、電路設(shè)計(jì)
電路設(shè)計(jì)是電路分析的逆過(guò)程，根據(jù)已知的兩個(gè)指標(biāo)（自然諧振頻率和阻尼系數(shù)）設(shè)計(jì)相應(yīng)的電路參數(shù)。由于未知參數(shù)是四個(gè)，所以理論上滿足設(shè)計(jì)指標(biāo)的濾波器參數(shù)有無(wú)窮多個(gè)。在實(shí)際電路中并不是所有的電路參數(shù)都能夠很好的工作（比如電阻，電容的取值不能夠太大，或者太小等），因此我們系是要確定實(shí)際可以使用的電路參數(shù)。
1、設(shè)計(jì)中的問(wèn)題
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通常情況下，為了減少待定參數(shù)的個(gè)數(shù)，我們先選擇任意合適的電阻
，然后確定電容 C1，C2 的取值。這個(gè)方法看起來(lái)不錯(cuò)，但實(shí)際上執(zhí)行起來(lái)往往計(jì)算出來(lái)的電容取值不是標(biāo)準(zhǔn)電容系列，這就需要通過(guò)串聯(lián)和并聯(lián)的方式來(lái)獲得合適的電容。為了避免上述問(wèn)題，往往先選擇兩個(gè)電容的取值
，在通過(guò)公式計(jì)算兩個(gè)電阻
。由于電阻系列往往具有較細(xì)的分級(jí)，所以計(jì)算出的電阻可以比較好得到滿足。
問(wèn)題又來(lái)了，邏輯上 C1，C2 取相同的容值可以簡(jiǎn)化電路設(shè)計(jì)，通過(guò)公式（7）可以看到電路的阻尼系數(shù)
將會(huì)永遠(yuǎn)大于 1.0，在一些要求阻尼系數(shù)小于 1.0 時(shí)這個(gè)隱藏的缺陷可能凸顯出來(lái)。因此需要通過(guò)完整的數(shù)學(xué)而不是直覺(jué)徹底避免這個(gè)缺陷。
在工程數(shù)學(xué)中有一句俗語(yǔ)：“比例是你的朋友”（Ratios are your friend）。求解比例值，若不是形成比例值的具體參數(shù)可以減少未知變量的個(gè)數(shù)，從而簡(jiǎn)化設(shè)計(jì)過(guò)程。下面給出的設(shè)計(jì)就是求解兩個(gè)比例 C1/C2，R1/R2。雖然數(shù)學(xué)推導(dǎo)過(guò)程看似繁瑣到令人發(fā)指，但結(jié)果卻非常簡(jiǎn)單。
2、公式推導(dǎo)
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根據(jù)公式（7），為了方便起見(jiàn)，先對(duì)阻尼系數(shù)等式兩邊平方：
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將上述公式展開(kāi)，并整理成比例形式
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重新成立成關(guān)于比值 R2/R1 的二次方程：
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最后求解化簡(jiǎn)可得：
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費(fèi)盡萬(wàn)難得到公式（11），可以看出，當(dāng)要求濾波器阻尼系數(shù)小于 1.0 時(shí)， 對(duì)應(yīng)的電阻比值 R2/R1 就會(huì)出現(xiàn)復(fù)數(shù)情況，這當(dāng)然在實(shí)現(xiàn)過(guò)程中出現(xiàn)困難。
3、電路設(shè)計(jì)過(guò)程
步驟1：
在文檔 Choosing Resisters and Capacitors for Op-Amp Active Filters[4] 給出了有源濾波器設(shè)計(jì)中電阻、電容選擇標(biāo)準(zhǔn)系列。首先可以根據(jù)下面公式計(jì)算出 C1，C2 的幾何平均值：
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其中 Fn 是濾波器的自然頻率，單位 Hz 
，公式計(jì)算出的電容單位是法拉。當(dāng)濾波器阻尼系數(shù)
要求小于 1 時(shí)， C1 可以選擇比幾何平均值大，C2 選擇較小的值。反之，當(dāng)阻尼系數(shù)大于 1 時(shí)， C1，C2 的大小關(guān)系反過(guò)來(lái)。
步驟2：
首先計(jì)算出
，然后根據(jù)電容標(biāo)準(zhǔn)系列選擇合適的 C1 數(shù)值。建議選擇較小的標(biāo)準(zhǔn)電容值，這樣在后面計(jì)算 C2 和電阻值時(shí)比較容易得到實(shí)際可用的數(shù)值。選擇 C1 的數(shù)值可以在 三倍計(jì)算數(shù)值范圍內(nèi)選擇。
步驟3：
根據(jù)選擇的 C1 數(shù)值，計(jì)算出
容值上限，然后在六個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差范圍內(nèi)選擇可以使用的電容數(shù)值。需要注意，如果選擇 C2 過(guò)小，可能會(huì)導(dǎo)致 R1，R2 數(shù)值過(guò)大。
步驟4：
至此，兩個(gè)電容數(shù)值 C1，C2 都已經(jīng)確定下來(lái)，并且是可以使用的實(shí)際電容。然后利用公式（11）計(jì)算出 R1，R2 的比值。然后在根據(jù)公式（7）的前半部分，計(jì)算出R1，R2的乘積：
步驟5：
至此，可以根據(jù)
兩個(gè)數(shù)值分別計(jì)算出
各自的取值。
首先計(jì)算出 R1：
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根據(jù)上面計(jì)算數(shù)值，選擇最近的標(biāo)準(zhǔn)電阻阻值；然后再計(jì)算出 R2 的數(shù)值，選擇最近的標(biāo)準(zhǔn)電阻阻值。
步驟6：
當(dāng)設(shè)計(jì)完成之后，代入公式核算濾波器的參數(shù)（自然頻率和阻尼系數(shù)）是否滿足。之后再查看選擇的 電容、電阻是否合理，避免過(guò)小的電容，過(guò)大的電阻，這樣都可能會(huì)因?yàn)檫\(yùn)放的偏置電流以及集成電容使得濾波器性能產(chǎn)生較大的偏差。
四、設(shè)計(jì)舉例
下面設(shè)計(jì)一個(gè) Sallen-Key 低通濾波器，選擇自然頻率為 1kHz， 濾波器的品質(zhì)因素 Q=2。下面給出具體的求解過(guò)程。
根據(jù)
，可以得到
。
五、增益變化
當(dāng)運(yùn)放的增益不再是標(biāo)準(zhǔn)的單位增益，會(huì)對(duì)濾波器產(chǎn)生什么變化嗎？比如下面是通帶增益大于 1 的低通濾波器。增益由 R4,R3的比值決定。
圖1.5.1 通帶增益大于1的Sallen-Key低通濾波器
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根據(jù)同樣的分析，可以得到濾波器的傳遞函數(shù)為：
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相應(yīng)的濾波器參數(shù)為：
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可以看到隨著運(yùn)放增益提高， 濾波器的自然頻率增加，阻尼系數(shù)降低。如果將電容 C2 的數(shù)值
來(lái)源： TsinghuaJoking，卓晴
參考資料
[1] Sallen-Key topology: https://en.wikipedia.org/wiki/Sallen%E2%80%93Key_topology
[2] Sallen-Key Low-Pass Filter: https://www.kennethkuhn.com/students/ee431/sallen_key_low_pass_filter.pdf
[3] Analysis of the Sallen-Key Architecture: https://www.ti.com/lit/an/sloa024b/sloa024b.pdf
[4] Choosing Resisters and Capacitors for Op-Amp Active Filters: https://www.kennethkuhn.com/students/ee431/choosing_rc_values_for_active_filter.pdf
[5] SALLEN-KEY FILTER CALCULATION TOOL: https://mimmotronics.com/sallen-key-design-tool/
[6] Sallen-Key Low-pass Filter Design Tool: http://sim.okawa-denshi.jp/en/OPseikiLowkeisan.htm
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